被打应该追究对方什么责任

被打应追究对方治安或刑事责任。依据《治安管理处罚法》及《刑法》，轻微伤将受治安处罚，轻伤则需承担刑事责任。若不及时处理，可能导致证据丢失，影响追责，甚至让施暴者逃脱法律制裁。
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被打需追责。具体操作：1. 立即报警，保留证据；2. 进行伤情鉴定，轻微伤要求治安处罚并索赔医疗费等；3. 轻伤则催促公安机关立案，或提起刑事自诉，同时附带民事诉讼要求赔偿。
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被打可追究治安、刑事及民事责任。处理方式需根据伤情鉴定结果选择：轻微伤主张治安处罚并索赔；轻伤则要求立案侦查，追究刑责，并附带民事诉讼索赔。根据具体情况选择合适方式。